Alla ricerca della formula perduta

11 gennaio 2022

Di Vincenzo Vespri

Come la Matematica scomparve dall’Occidente. La Matematica, almeno quella che concepiamo adesso, nacque in Occidente con Pitagora, Euclide ed Archimede. Questa ricca e proficua stagione de facto terminò con Diofanto. Ciò che contribuì a spingere gli scienziati alessandrini ad abbandonare l’Impero Romano verso civiltà non così ostili verso la ricerca scientifica fu la barbara uccisione di Ipazia causata dal fatto che era una scienziata di valore (diresse la scuola di Alessandria), matematica, neo-platonica e, soprattutto, donna.

A questa atmosfera di caccia ai matematici contribuì non poco la Chiesa. Nel sinodo di Laodicea, in uno dei canoni, è scritto: “Coloro che sono sacerdoti, o appartengono al clero, non saranno maghi, incantatori, matematici o astrologi; né faranno i cosiddetti amuleti, che sono catene per le proprie anime. E chi li indossa, comandiamo che sia cacciato dalla Chiesa.” Analoga posizione la espresse Sant’Agostino che nell’opera De Genesi ad litteram scrisse: “Perciò i buoni cristiani devono stare attenti sia ai matematici, sia agli empi indovini, specialmente quelli che dicono le verità, C’è il pericolo che abbiano stretto un patto col diavolo per annebbiare lo spirito, e mandare l’uomo all’inferno” (II,17,37).

Ora questo passo sembra in palese contraddizione con altri passi di Sant’Agostino dove esalta il fatto che la matematica esprima verità immutabili. Secondo me la contraddizione è solo apparente. La Chiesa (soprattutto quella integralista delle origini) ha avversato gli scienziati che cercavano di capire la natura che ci circonda e, facendo così, trovavano risposte vere che magari contraddicevano verità di fede espresse da passi delle Sacre Scritture. Quindi alla Chiesa andava benissimo una ricerca teorica ed assiomatizzata come pure una impostazione scientifica immutabile di tipo aristotelico, che rendeva le teorie scientifiche simili a dogmi, ma non andava bene lo scienziato che andava a ricercare le ragioni ultime. Andava bene Tolomeo con la sua costruzione che richiedeva un motore immobile per far girare la machina mundi, non sarebbe andato bene Copernico il cui modello astronomico non richiedeva un Dio per farlo funzionare.


Jan Matejko, Copernico conversa con Dio (1872), dipinto conservato presso l'Università Jagellonica di Cracovia

Uno dei responsabili dell’uccisione di Ipazia fu il vescovo di Alessandria, San Cirillo che, agli occhi moderni, appare un fondamentalista invasato, senza compassione e brutale. Simile a un Mullah Omar o a Osama Bin Laden. Capace di qualunque crimine pur di imporre il proprio credo religioso. Agiva infatti con un’intolleranza feroce, per estirpare il paganesimo e le eresie. Ma nonostante ciò, o proprio per questo, fu nominato santo e dottore della chiesa poco dopo la sua morte. Damascio, un quasi contemporaneo, descrisse l’uccisione di Ipazia in questo modo «una massa enorme di uomini brutali, veramente malvagi [...] uccise la filosofa [...] e mentre ancora respirava appena, le cavarono gli occhi». L’eresia all’epoca si combatteva con l’esecuzione sommaria. L’esempio più noto della persecuzione della Chiesa verso la Scienza, è stato il processo a Galileo Galilei. Qui la Chiesa fu molto più raffinata. Per combattere l’eresia utilizzò lo strumento del processo invece che del linciaggio. La conclusione fu più o meno analoga di quella di Ipazia, ma molto meno sanguinolenta: Galileo ridotto al silenzio e all’abiura e lo spietato accusatore di Galileo, il Cardinale Roberto Bellarmino (che aveva già condannato al rogo Giordano Bruno) fu nominato anche lui santo e dottore della Chiesa (esattamente come il Vescovo Cirillo) e questo addirittura in tempi recenti (il secolo scorso) da Papa Benedetto XV e da Pio XI. Nel caso di Cardano vedremo che la Chiesa avrebbe potuto fare perfino meglio: uccidere ogni idea libera senza creare martiri.

Dopo Diofanto e la sciagurata Ipazia, in ogni caso per 7 secoli la matematica parlò non più greco o latino, ma solo indiano e arabo. Da quel che sta emergendo dai reperti storici, più indiano che arabo. Il matematico indiano Brahmagupta nel 628 introdusse il numero zero e la numerazione “araba”. Ancora più stupefacente il contributo di un altro matematico indiano, Bhaskara che nel 1100 anticipò la Matematica che l’Occidente avrebbe sviluppato solo secoli dopo. Introdusse correttamente il concetto d’infinito, studiò le soluzioni di equazioni diofantee anticipando i risultati dei matematici rinascimentali, risolse equazioni quadratiche con più di una incognita, intuì il calcolo differenziale secoli prima di Newton e Leibniz, enunciò il teorema di Rolle. I contributi di Bhaskara non arrivarono in Occidente perché anche l’Islam incominciò ad essere intollerante verso la scienza e non svolse più la funzione di ponte culturale fra India ed Occidente cosa che aveva consentito alla Matematica di tornare a rivivere in Europa.

Fibonacci riporta la Matematica in Occidente. La rinascita degli studi matematici alla fine dell’Alto Medioevo è dovuta a Fibonacci (1170 circa- 1242 circa). In realtà si chiamava Leonardo Pisano. Divenne noto come Fibonacci solo in periodo rinascimentale. Della sua vita si sa molto poco. Suo padre, Guglielmo dei Bonacci, era un mercante pisano. Sicuramente viaggiò molto e, probabilmente, l’oscuro soprannome di “bigollo” a lui attribuito si riferiva ai numerosi viaggi fatti che lo rendevano simile a una trottola. Anche se, secondo altre interpretazioni, poteva indicare il fatto che fosse bilingue. Sicuramente fu in Algeria, Egitto, Siria, Sicilia (alla corte di Federico II), Grecia e Costantinopoli. In questi viaggi sicuramente, oltre a fare il mercante, venne in contatto con la matematica araba e ne trasse ispirazione per creare una matematica utile, capace di venire incontro alle necessità di far di conto dei mercanti. Per questo ebbe stima e riconoscimenti.

All'epoca di Fibonacci si conoscevano solo i numeri romani che non si prestavano a fare calcoli, tanto è vero che dovevano essere eseguiti con l'abaco. Ma la società stava mutando rapidamente, il sistema economico medioevale basato sull’agricoltura e sui servi della gleba stava ormai tramontando. Stava nascendo una borghesia commerciale che aveva bisogno di fare i conti e la matematica si adeguò ai tempi nuovi che stavano sopraggiungendo.

Un foglio del manoscritto su pergamena del Liber abbaci conservato nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (Codice magliabechiano Conv. Soppr. C 1, 2616, fol. 124r), contenente nel riquadro a destra le prime tredici cifre, in numeri arabi, della cosiddetta "successione di Fibonacci".

I numeri indiani (o arabi, in qualunque modo vogliamo chiamarli) rappresentano più un algoritmo efficiente per effettuare i conti piuttosto che un’altra possibile notazione. Il sistema posizionale indiano infatti permette anche di fare calcoli rapidamente, quindi è un passo fondamentale per rendere la Matematica uno strumento della vita quotidiana diventando la lingua dei mercanti e dei commerci.

Nel 1202, Leonardo Fibonacci pubblicò il Liber abbaci, in questo libro Fibonacci descrisse la numerazione posizionale indiana e introdusse il numero zero. Nel libro erano presentati inoltre criteri di divisibilità, regole di calcolo di radicali quadratici e veniva introdotta anche la barretta delle frazioni. Nel libro erano presenti anche quesiti matematici, alcuni pratici (problemi di ragioneria e di cambi), altri più teorici (quale il problema dei conigli che originò la famosa successione di Fibonacci). Infine, per mostrare la superiorità della numerazione indiana su quella romana, il libro terminava con una tabella comparativa di numeri scritti nei due sistemi e di disegni che mostravano come, a mano, con la numerazione indiana si potevano fare calcoli che prima potevano essere affrontati solo con l’abaco.

Cardano, l’ultimo dei maghi e il primo degli scienziati moderni. Bisogna aspettare ben tre secoli per vedere la Matematica occidentale riacquistare la supremazia perduta. Sicuramente gran parte di questo merito va a Gerolamo Cardano (1501–1576). Da uomo del Rinascimento è stato capace di fare tutto: mago, medico, matematico, filosofo, astrologo, illusionista ed inventore.  Una vita spericolata alla Steve McQueen. Di questo era conscio anche lui, tanto da scrivere nel frontespizio della sua autobiografia «So che l'anima è immortale, ma non ho capito come funzioni la cosa».

Figlio illegittimo di un nobile e di una vedova con tre figli, poco prima della nascita la vedova perse tutti e tre i figli di peste e per la disperazione cercò di abortire del quarto senza riuscirci. Gerolamo scrisse «Dopo che mia madre aveva tentato senza risultato dei preparati per abortire, venni alla luce il 24 settembre 1501. [...] Come morto, infatti, sono nato, anzi sono stato strappato al suo grembo, con i capelli neri e ricciuti.» Gerolamo, appena nato, si ammalò di peste ma sopravvisse. Delicato di salute, quando poteva, accompagnava il padre nei viaggi di lavoro. A 17 anni si iscrisse all’Università per studiare Medicina e Matematica, prima a Pavia, poi a Mantova ed infine a Padova dove a 25 anni conseguì il dottorato in Medicina. Non era uno studente facile «Sono poco rispettoso e non ho peli sulla lingua, soprattutto mi lascio trascinare dall'ira, al punto che poi mi dispiace e me ne vergogno. [...] Riconosco che tra i miei vizi ce n'è uno molto grande e tutto particolare: quello di non riuscire a trattenermi - anzi ne godo - dal dire a chi mi ascolta ciò che gli risulta sgradevole udire. Persevero in questo difetto coscientemente e volontariamente, pur sapendo quanti nemici da solo mi abbia procurato [...]» Da un altro passo della sua autobiografia si capisce che non si ama «Forse non c’è niente di lodevole in me: di sicuro la passione smodata che ho avuto per gli scacchi e i dadi è schiettamente riprovevole. E non ho neppure uno straccio di scusa. Ero povero, umiliato e offeso, esposto all’insolenza: a farmi cadere in quell’ozio indegno furono il disprezzo altrui, il disordine delle mie cose e una natura morbosa. E lo si è visto: me ne sono tirato fuori non appena sono stato in grado di vivere da persona perbene. Dunque la molla non fu corruzione intima, ma odio e fuga

Si sposò nel 1531, e cosa non banale (ma niente è stato banale nella sua vita) perché aveva sofferto anche d’impotenza, la moglie gli dette 3 figli per poi morire nel 1546. All’inizio i colleghi, invidiosi del suo genio, lo boicottarono. Ma quando per la sua bravura divenne medico per la famiglia Borromeo la sua fama di medico crebbe a tal punto che furono costretti ad ammetterlo ad esercitare la professione a Milano ed ad accettare che fosse nominato docente universitario a Pavia. Il suo carattere irrequieto lo spinse a cercare fortuna nelle isole britanniche. Nel 1552 si recò in Scozia dove guarì (probabilmente da una grave forma di allergia) l’arcivescovo di Edimburgo. La fama di Cardano si diffuse in tutta l’Inghilterra. Si dice che Shakespeare avesse in mente Cardano quando creò il personaggio di Prospero nella Tempesta. Sembra inoltre che, nelle prime rappresentazioni, quando Amleto pronunciava il celebre monologo To be or not to be, il libro che teneva in mano fosse il De Consolatione, un libro di Cardano. Ancora oggi Cardano è famoso in UK. Una delle criptovalute più famose e quasi sicuramente quella più tecnologica si chiama Cardano ed è stata concepita anche da scienziati dell’Università di Edimburgo.


Rientrò a Milano nel 1553. Ma la sua vita non fu per nulla tranquilla, sempre contrassegnata da drammi familiari. Nel 1560 il figlio Giovan Battista avvelenò sua moglie e per questo fu condannato a morte per decapitazione. Inutilmente Cardano cercò di mitigare la condanna. Dall’autobiografia si capisce che si convinse che la durezza della condanna fosse dovuta solo a manovre dei colleghi universitari che non lo sopportavano per il suo caratteraccio. Ma ebbe problemi anche con l’altro suo figlio maschio, Aldo che arrivò a derubarlo e lui fu costretto a denunciarlo e a farlo condannare. Nel 1570 fu messo in carcere per eresia. Aveva infatti pubblicato un elogio di Nerone (grande persecutore di cristiani) e soprattutto scritto un oroscopo di Gesù Cristo in cui si affermava che la vita di Gesù era tutta scritta nelle stelle sotto cui era nato. Entrambe le iniziative che, a prima vista sembrano bizzarrie, avevano una loro logica. L’apologia di Nerone è a dir poco originale oltre che geniale: Nerone viene salvato da Cardano dalle calunnie di Tacito e di Svetonio e diventa un modello, un «vendicatore della plebe e tirannicida». Peccato che Cardano si fosse scordato che Nerone era stato anche un grande persecutore di cristiani e, per questo, non era, ovviamente, ben visto dalla Chiesa. L’oroscopo di Gesù seguiva invece un ragionamento logico. Se Gesù è il Dio fatto Uomo e se le stelle influenzano la vita delle persone, è evidente che Gesù doveva essere nato sotto la migliore delle congiunture astrali possibili. Questo argomento però era molto scivoloso. Gli studiosi del medioevo, cercando di coniugare astrologia e cristianesimo, consideravano qualsiasi manifestazione di Dio nella Storia come sottoposta unicamente alle leggi dello Spirito, non a quelle di Natura, e quindi neanche all'influenza degli astri. Quindi non aveva senso, ed era anzi un’eresia, fare l’oroscopo a Gesù Cristo. L’intervento della Santissima Inquisizione fu perciò inevitabile.

Per fortuna (o per sfortuna) di Cardano, l’inquisizione dell’epoca era molto più scaltra di quella con cui Galileo avrebbe avuto a che fare. Evitava condanne pubbliche e roghi, evitava di fabbricare martiri ed aveva come obiettivo la totale sottomissione dell’eretico. Utilizzava perciò tecniche che sarebbero state descritte mirabilmente da Orwell in 1984.  La Chiesa, invece di bruciarlo sul rogo come avrebbe fatto Bellarmino, annientò psicologicamente Cardano sottoponendolo a mesi di costante pressione. Cardano cedette e fece atto di pubblica abiura e di totale sottomissione e volontariamente bruciò alcune sue opere. In questo modo Cardano ebbe salva la vita, ma perse la fama imperitura che guadagnò ad esempio Giordano Bruno che sicuramente come pensatore era di livello molto inferiore a Cardano. Cardano non fu martire come Ipazia e Galileo e del suo processo si sa pochissimo. Non è passato alla storia neanche il nome del suo carnefice-inquisitore. Comunque, grazie alla sua totale sottomissione, Cardano ottenne una pensione dal papa che gli garantì da vivere fino alla morte. Casualmente è lo stesso premio che ottiene dal Grande Fratello Winston Smith, il protagonista di 1984, per la sua completa sottomissione.

Cardano scrisse più di 200 opere che in parte confluirono nell’Opera Omnia in 10 volumi, in cui tratta di tutto: metafisica, medicina, scienze naturali, matematica, astronomia e tecnologia ma anche scienze occulte, teologia, interpretazione dei sogni, chiromanzia e numerologia. Il suo grande limite fu che non riuscì a distinguere la scienza dalla magia, come invece farà Newton. I contributi scientifici di Cardano sono stati variegati: descrisse per primo la febbre tifoidea, inventò il giunto cardanico e la serratura a combinazione, sostenne l’impossibilità del moto perpetuo ed inventò un rompicapo noto come gli anelli di Cardano o anelli cinesi. Per quanto riguarda la matematica i suoi contributi principali furono la Probabilità (di cui fu uno dei padri) e soprattutto la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado. Gli antichi avevano individuato la formula risolutiva delle equazioni di primo e di secondo grado. La formula risolutiva delle equazioni superiori al secondo era una grande sfida che nessuno, in tutto il mondo, aveva risolto fino a che non si arriva all’età di Cardano. La vicenda è estremamente intricata e piena di colpi di scena e merita di essere raccontata in dettaglio.
  
La vera storia della formula rubata. Il primo che scoprì come risolvere le equazioni di terzo grado fu Scipione dal Ferro, sembra già nel 1505, che però si guardò bene dal divulgare la formula trovata. Infatti la bravura di un matematico si misurava con sfide pubbliche. Il matematico si comportava in fondo, come l’artigiano-artista, che custodiva i segreti della sua bottega. Di conseguenza, chi aveva una formula, non diceva niente a nessuno. Per dimostrare che era più bravo degli altri inviava un cartello di “matematica disfida” a qualche altro famoso matematico. Naturalmente se lo sfidato gettava la spugna, lo sfidante doveva dare lui la soluzione, altrimenti sarebbe stato ricoperto d’ignominia. La pratica delle disfide risaliva a molto lontano. Si sa ad esempio che Archimede, per dimostrare la sua superiorità rispetto alla scuola di Alessandria, sfidò i matematici alessandrini a risolvere un problema noto come i buoi del Dio del Sole che ancora oggi è oggetto di numerose ipotesi e supposizioni. Ritornando a noi, Scipione del Ferro aveva trovato la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado del tipo x³+px=q da cui poi, tramite una opportuna sostituzione, si ricavavano le soluzioni per una equazione generale. Per poter vincere disfide matematiche, ed integrare adeguatamente il suo stipendio di professore, non divulgò mai la sua formula risolutiva se non in punto di morte a un suo allievo sicuramente fidato ma non troppo dotato matematicamente, Antonio Maria del Fiore.

Niccolò Fontana, detto anche Niccolò Tartaglia, scoprì anche lui la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado. La vita di Tartaglia era stata molto dura: orfano di padre a 6 anni, nel 1512, durante il sacco di Brescia fatto dalle truppe Francesi, nonostante si fosse rifugiato in chiesa, fu barbaramente aggredito dalla soldataglia. Fu colpito ripetutamente con il calcio di un fucile ed ebbe numerose fratture al cranio, al palato e alla mascella. Sopravvisse ma ebbe da allora grande difficoltà ad articolare parola (da cui il soprannome di Tartaglia). Si guadagnava da vivere insegnando matematica. Conoscere la formula significava vincere disfide e vivere una vita più decente. Doveva però detronizzare Antonio Maria del Fiore. Per far questo, nel 1535, lanciò una disfida matematica a del Fiore. Tartaglia risolse tutti e 30 i problemi posti da del Fiore mentre questo ultimo non fu capace di risolvere nessuno dei 30 proposti da Tartaglia. Tartaglia divenne famoso e relativamente ricco, grazie agli introiti delle disfide matematiche che lanciava e naturalmente vinceva.

General trattato de' numeri et misure, 1556

Cardano si incuriosì e nel 1539 invitò Tartaglia a Milano. Si fece confidare la formula risolutiva giurando sul suo onore che non l’avrebbe mai rivelata fino a che Tartaglia non l’avesse pubblicata. Il perché Tartaglia abbia rivelato la formula a Cardano è ignoto. Secondo la tradizione Tartaglia comunicò la formula usando dei versi più o meno enigmatici, tipo formula magica:

Quando che 'l cubo con le cose appresso 
Se agguaglia a qualche numero discreto:
 Trovami dui altri, differenti in esso;
Da poi terrai, questo per consueto, 
Che 'l loro produtto, sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose netto;
El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.

Ossia, data l’equazione x³+px=q, si poneva u-v=q e uv=(p/3)³. Per verifica diretta si può trovare che la soluzione x è data dalla formula x=∛u-∛v, quindi si ha la formula esplicita di due delle tre soluzioni dell’equazione. Trovare la terza soluzione è poi una operazione routinaria. Cardano si appassionò del problema, ci lavorò giorno e notte, migliorò la formula risolutiva di Tartaglia e, grazie all’aiuto del suo assistente Ludovico Ferrari, la estese al quarto grado. Il problema era che non poteva rendere pubbliche queste scoperte fino a che Tartaglia non avesse resa nota la sua scoperta. Ma Tartaglia non aveva alcuna intenzione di farlo, perché grazie a questa formula segreta vinceva disfide su disfide e poteva avere un adeguato tenore di vita.

La situazione si sbloccò quando Cardano incontrò del Fiore e seppe da lui che la formula risolutiva era nota già a del Ferro. Ritenendosi sciolto dal giuramento fatto, pubblicò i risultati da lui trovati nel 1545 nel trattato Ars Magna, considerato unanimemente uno dei più importanti di tutto il Rinascimento. Tartaglia livido di rabbia, sia perché non poteva avere più i facili guadagni dalle disfide e sia perché si sentiva defraudato della scoperta fatta, pubblicò Quesiti et Inventioni diverse dove offendeva Cardano e raccontava del giuramento non rispettato. Cardano non rispose direttamente alle offese ricevute ma lasciò questo compito a Ferrari, che lanciò ben sei disfide a Tartaglia. Essendo Ferrari l’offeso aveva il diritto di scegliere la modalità della disfida e scelse lo scontro verbale dove Tartaglia era sicuramente svantaggiato dalle balbuzie. Infatti Tartaglia perse clamorosamente le disfide e il merito della scoperta della formula esplicita delle equazioni di terzo e quarto grado fu attribuito ai soli Cardano e Ferrari. Solo in tempi recenti si è riconosciuto il contributo di del Ferro e Tartaglia alla risoluzione di questo epico problema.

I protagonisti di questa vicenda finirono tutti molto male. Tartaglia, a causa dell’onta che ebbe perdendo le disfide, perse anche il lavoro. Ferrari morì poco dopo avvelenato, forse da sua sorella. Infine Cardano ebbe il processo per eresia di cui abbiamo già parlato. Si tramanda che Tartaglia, per vendicarsi, sia stato lui stesso a denunciare Cardano al Santo Uffizio. Ma non si hanno prove certe.

Vincenzo Vespri è Professore di Analisi Matematica presso l'Università di Firenze